动力学系统最优控制的求解步骤包括建立数学模型、选择合适的算法进行数值求解。离散方法首先对连续系统的数学模型进行时间离散，建立起离散模型，然后对离散化的方程进行数值求解。离散动力学最优控制的主要研究问题包括数学模型的建立、数值算法的设计和编程环境的选择。

1.数学模型

最优控制模型中包括目标函数和约束条件。连续系统的目标函数通常表示为某变量的积分形式，离散后转化为离散点对应变量的累加形式，方程简单，易于计算。约束条件根据问题的性质不同，形式也有所不同，初始、终止状态及达朗贝尔原理的变分形式、几何约束都是等式形式。有些问题的约束条件中也可以包含不等式，如飞行器的运行轨迹要求避开某特定区域，则只需要在优化问题的约束条件中添加系统坐标和飞行禁区坐标之间的不等式约束即可。此外，通过在相邻离散点之间插入内部控制结点，建立高阶模型，可实现对动力学系统的自动保辛，精度更高。

 

2.数值算法

经过离散之后的最优控制模型中包括离散坐标和离散控制力在内的所有离散变量。典型的最优控制模型的目标函数是离散控制力的累加形式，即控制力的总量。所有的约束条件都可表示为离散坐标、离散力的等式或不等式形式。综合目标函数和约束条件，动力学系统的最优控制模型可归结为数学规划中的二次规划或非线性规划。其基本的数值算法包括标准序列二次规划算法、内点法、有效集算法等。所有算法的基本思想都是在给定初始状态下，通过反复迭代使结果逐步走向最优。不同算法的求解步骤、适合问题的规模、收敛速度、稳定性有所不同，需要根据问题的性质选择。

3.计算与仿真环境

MATLAB是离散动力学最优控制问题数值求解的首选编程与仿真环境。一方面，离散之后动力学系统所包含的离散变量非常多，适合用矩阵形式表示，另一方面，MATLAB中也包含了一些标准的优化算法，可直接调用。此外，MATLAB的曲线绘制功能也可以将优化结果快速直观的展示出来。如果要建立更复杂的系统模型、获取更高的运算速度和更精准的控制，动力学系统的建模语言AMPL可用于系统数学模型的建立，数值求解时也可利用第三方的软件包如非线性规划求解器IPOPT。

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